Как найти площадь окружности вписанной в прямоугольный треугольник

386 Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции. 387 Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если A36, C 117. 388 Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны. 389 Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны. 390 Один из углов равнобедренной трапеции равен 68. Найдите остальные углы трапеции. 391 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной.

Инфо
Занятия будут проходить 1 раз в неделю по 90 минут. Подробности по телефону (495). Нам не все равно, как Вы сдадите экзамены!
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно найти по стандартной формуле.

Внимание
Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности? Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр. Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности: Дано: ABC, окружность (O; r) вписанная, ABc, BCa, ACb, Доказать: Доказательство: Рассмотрим треугольник AOC. (как радиус, проведенный в точку касания). Следовательно, OF высота треугольника AOC. По формуле Аналогично найдем площади треугольников AOB и BOC: Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то Что и требовалось доказать. Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так: где P периметр треугольника, r радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Важно
Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3. Решение. Применим к треугольнику ABC теорему синусов: Имеем далее: Предположим, что SABC 3. Тогда SABC 3 sin ACB 1 ACB 90. Значит, Но с другой стороны имеем: Следовательно, предположение о том, что SABC 3, неверно, и, значит, SABC 3, что и требовалось доказать. Задача 8. В треугольнике ABC медианы AE и BD, пересекаются под прямым углом (рис. 16). Длина стороны BC равна a. Найти длины других сторон треугольника ABC, если AE2 BD2 d2. Решение. Пусть O точка пересечения медиан треугольника ABC. Пусть OE x и OD y. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, то OA 2x и OB 2y. Условие AE2 BD2 d2 перепишем в виде Из прямоугольного треугольника OBE и равенства применив теорему Пифагора, получим: Далее, применив теорему Пифагора к треугольнику ABO, найдем, что откуда Наконец, применив теорему Пифагора к треугольнику AOD, получим: откуда Ответ : Задача 9. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K (рис. 17). Известно, что BC 2, KC 1, Найти площадь треугольника ABC. Решение. Пусть AK x. Тогда из теоремы о биссектрисе внутреннего угла, примененной к треугольнику ABC, следует, что Применим к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы: Значит, стороны треугольника ABC равны AB 3, и BC 2, а полупериметр этого треугольника равен Воспользуемся формулой Герона: Ответ : Задача 10. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 5, сумма длин двух других сторон равна 7, косинус угла BAC равен (рис. 18). Найти площадь треугольника ABC. Решение. Пусть AB x, тогда BC 7 x. Применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим: BC2 AB2 AC2 2ABAC cos BAC Следовательно, AB 4, BC 3. Так как AB2 BC AC2, то по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник ABC прямоугольный и ABC 90. Поэтому Ответ : 6. Задача 11. Длины сторон AB, BC и AC треугольника ABC в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию (рис. 19). Найти отношение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, к радиусу вписанной окружности. Решение. Можем считать (применив, если нужно, подобие что AB 1. Пусть разность прогрессии равна d, тогда BC 1 d и AC 1 2d. Пусть h длина высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Имеем равенство: Ответ : 3. Задача 12. В треугольник ABC с длиной стороны BC, равной 9, вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке D (рис. 20). Известно, что AD DC и косинус угла BCA равен Найти длину стороны AC. Решение. Пусть K и M точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно. Пусть KC x, тогда AD CD x, BD BM 9 x (так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Пусть AM y, тогда и AK y. Применив теорему косинусов к треугольнику ADC, получим: AD2 AC2 CD2 2ACCD cos ACD Применим теперь теорему косинусов к треугольнику ABC: Следовательно, AC x y 4. Ответ : 4. Задачи для самостоятельного решения С-1. В треугольнике ABC сторона BC равна a и угол BAC равен.

Глава V. Четырехугольники. 1. Многоугольники 363 Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведенные диагонали каждый многоугольник? 364 Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в ) десятиугольника. 365 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90; б) 60; в ) 120; г) 108? 366 Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3.

Подробности Автор: Administrator Обновлено.

Элементы произвольного треугольника ABC обычно обозначаются так: BC, CA, AB стороны; a, b, c их длины;, величины противолежащих углов; ha, ma, la высота, медиана и биссектриса, выходящие из вершины A; R радиус описанной окружности, r радиус вписанной окружности; S площадь, p полупериметр. Отметим, что в отдельных задачах обозначения могут отличаться от стандартных. Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть c2 a 2 b2, где c гипотенуза треугольника. Теорема 2. Для прямоугольного треугольника.